3.280 \(\int (c+d x)^2 \csc ^3(a+b x) \sec ^2(a+b x) \, dx\)

Optimal. Leaf size=305 \[ \frac{3 i d (c+d x) \text{PolyLog}\left (2,-e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{3 i d (c+d x) \text{PolyLog}\left (2,e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{2 i d^2 \text{PolyLog}\left (2,-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{2 i d^2 \text{PolyLog}\left (2,i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{3 d^2 \text{PolyLog}\left (3,-e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{3 d^2 \text{PolyLog}\left (3,e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{c d \csc (a+b x)}{b^2}-\frac{2 c d \tanh ^{-1}(\sin (a+b x))}{b^2}+\frac{4 i d^2 x \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{d^2 x \csc (a+b x)}{b^2}-\frac{d^2 \tanh ^{-1}(\cos (a+b x))}{b^3}+\frac{3 (c+d x)^2 \sec (a+b x)}{2 b}-\frac{3 (c+d x)^2 \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b}-\frac{(c+d x)^2 \csc ^2(a+b x) \sec (a+b x)}{2 b} \]

[Out]

((4*I)*d^2*x*ArcTan[E^(I*(a + b*x))])/b^2 - (3*(c + d*x)^2*ArcTanh[E^(I*(a + b*x))])/b - (d^2*ArcTanh[Cos[a +
b*x]])/b^3 - (2*c*d*ArcTanh[Sin[a + b*x]])/b^2 - (c*d*Csc[a + b*x])/b^2 - (d^2*x*Csc[a + b*x])/b^2 + ((3*I)*d*
(c + d*x)*PolyLog[2, -E^(I*(a + b*x))])/b^2 - ((2*I)*d^2*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/b^3 + ((2*I)*d^2*Po
lyLog[2, I*E^(I*(a + b*x))])/b^3 - ((3*I)*d*(c + d*x)*PolyLog[2, E^(I*(a + b*x))])/b^2 - (3*d^2*PolyLog[3, -E^
(I*(a + b*x))])/b^3 + (3*d^2*PolyLog[3, E^(I*(a + b*x))])/b^3 + (3*(c + d*x)^2*Sec[a + b*x])/(2*b) - ((c + d*x
)^2*Csc[a + b*x]^2*Sec[a + b*x])/(2*b)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.865244, antiderivative size = 305, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 36, number of rules used = 22, integrand size = 24, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.917, Rules used = {2622, 288, 321, 207, 4420, 6688, 12, 6742, 6273, 4183, 2531, 2282, 6589, 4133, 453, 206, 4181, 2279, 2391, 2621, 6271, 3770} \[ \frac{3 i d (c+d x) \text{PolyLog}\left (2,-e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{3 i d (c+d x) \text{PolyLog}\left (2,e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{2 i d^2 \text{PolyLog}\left (2,-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{2 i d^2 \text{PolyLog}\left (2,i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{3 d^2 \text{PolyLog}\left (3,-e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{3 d^2 \text{PolyLog}\left (3,e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{c d \csc (a+b x)}{b^2}-\frac{2 c d \tanh ^{-1}(\sin (a+b x))}{b^2}+\frac{4 i d^2 x \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{d^2 x \csc (a+b x)}{b^2}-\frac{d^2 \tanh ^{-1}(\cos (a+b x))}{b^3}+\frac{3 (c+d x)^2 \sec (a+b x)}{2 b}-\frac{3 (c+d x)^2 \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b}-\frac{(c+d x)^2 \csc ^2(a+b x) \sec (a+b x)}{2 b} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[(c + d*x)^2*Csc[a + b*x]^3*Sec[a + b*x]^2,x]

[Out]

((4*I)*d^2*x*ArcTan[E^(I*(a + b*x))])/b^2 - (3*(c + d*x)^2*ArcTanh[E^(I*(a + b*x))])/b - (d^2*ArcTanh[Cos[a +
b*x]])/b^3 - (2*c*d*ArcTanh[Sin[a + b*x]])/b^2 - (c*d*Csc[a + b*x])/b^2 - (d^2*x*Csc[a + b*x])/b^2 + ((3*I)*d*
(c + d*x)*PolyLog[2, -E^(I*(a + b*x))])/b^2 - ((2*I)*d^2*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/b^3 + ((2*I)*d^2*Po
lyLog[2, I*E^(I*(a + b*x))])/b^3 - ((3*I)*d*(c + d*x)*PolyLog[2, E^(I*(a + b*x))])/b^2 - (3*d^2*PolyLog[3, -E^
(I*(a + b*x))])/b^3 + (3*d^2*PolyLog[3, E^(I*(a + b*x))])/b^3 + (3*(c + d*x)^2*Sec[a + b*x])/(2*b) - ((c + d*x
)^2*Csc[a + b*x]^2*Sec[a + b*x])/(2*b)

Rule 2622

Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(n_.)*((a_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_), x_Symbol] :> Dist[1/(f*a^n), Subst[Int
[x^(m + n - 1)/(-1 + x^2/a^2)^((n + 1)/2), x], x, a*Sec[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, e, f, m}, x] && IntegerQ[(n
+ 1)/2] &&  !(IntegerQ[(m + 1)/2] && LtQ[0, m, n])

Rule 288

Int[((c_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(c^(n - 1)*(c*x)^(m - n + 1)*(a + b*x^
n)^(p + 1))/(b*n*(p + 1)), x] - Dist[(c^n*(m - n + 1))/(b*n*(p + 1)), Int[(c*x)^(m - n)*(a + b*x^n)^(p + 1), x
], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && IGtQ[n, 0] && LtQ[p, -1] && GtQ[m + 1, n] &&  !ILtQ[(m + n*(p + 1) + 1)/n, 0]
&& IntBinomialQ[a, b, c, n, m, p, x]

Rule 321

Int[((c_.)*(x_))^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(c^(n - 1)*(c*x)^(m - n + 1)*(a + b*x^n
)^(p + 1))/(b*(m + n*p + 1)), x] - Dist[(a*c^n*(m - n + 1))/(b*(m + n*p + 1)), Int[(c*x)^(m - n)*(a + b*x^n)^p
, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, p}, x] && IGtQ[n, 0] && GtQ[m, n - 1] && NeQ[m + n*p + 1, 0] && IntBinomialQ[a, b,
c, n, m, p, x]

Rule 207

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> -Simp[ArcTanh[(Rt[b, 2]*x)/Rt[-a, 2]]/(Rt[-a, 2]*Rt[b, 2]), x] /;
FreeQ[{a, b}, x] && NegQ[a/b] && (LtQ[a, 0] || GtQ[b, 0])

Rule 4420

Int[Csc[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*Sec[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(p_.), x_Symbol] :> Modul
e[{u = IntHide[Csc[a + b*x]^n*Sec[a + b*x]^p, x]}, Dist[(c + d*x)^m, u, x] - Dist[d*m, Int[(c + d*x)^(m - 1)*u
, x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && IntegersQ[n, p] && GtQ[m, 0] && NeQ[n, p]

Rule 6688

Int[u_, x_Symbol] :> With[{v = SimplifyIntegrand[u, x]}, Int[v, x] /; SimplerIntegrandQ[v, u, x]]

Rule 12

Int[(a_)*(u_), x_Symbol] :> Dist[a, Int[u, x], x] /; FreeQ[a, x] &&  !MatchQ[u, (b_)*(v_) /; FreeQ[b, x]]

Rule 6742

Int[u_, x_Symbol] :> With[{v = ExpandIntegrand[u, x]}, Int[v, x] /; SumQ[v]]

Rule 6273

Int[((a_.) + ArcTanh[u_]*(b_.))*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[((c + d*x)^(m + 1)*(a + b*ArcTan
h[u]))/(d*(m + 1)), x] - Dist[b/(d*(m + 1)), Int[SimplifyIntegrand[((c + d*x)^(m + 1)*D[u, x])/(1 - u^2), x],
x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m}, x] && NeQ[m, -1] && InverseFunctionFreeQ[u, x] &&  !FunctionOfQ[(c + d*x)^(m
+ 1), u, x] && FalseQ[PowerVariableExpn[u, m + 1, x]]

Rule 4183

Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(-2*(c + d*x)^m*ArcTanh[E^(I*(e + f*
x))])/f, x] + (-Dist[(d*m)/f, Int[(c + d*x)^(m - 1)*Log[1 - E^(I*(e + f*x))], x], x] + Dist[(d*m)/f, Int[(c +
d*x)^(m - 1)*Log[1 + E^(I*(e + f*x))], x], x]) /; FreeQ[{c, d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0]

Rule 2531

Int[Log[1 + (e_.)*((F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))))^(n_.)]*((f_.) + (g_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> -Simp[((
f + g*x)^m*PolyLog[2, -(e*(F^(c*(a + b*x)))^n)])/(b*c*n*Log[F]), x] + Dist[(g*m)/(b*c*n*Log[F]), Int[(f + g*x)
^(m - 1)*PolyLog[2, -(e*(F^(c*(a + b*x)))^n)], x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, e, f, g, n}, x] && GtQ[m, 0]

Rule 2282

Int[u_, x_Symbol] :> With[{v = FunctionOfExponential[u, x]}, Dist[v/D[v, x], Subst[Int[FunctionOfExponentialFu
nction[u, x]/x, x], x, v], x]] /; FunctionOfExponentialQ[u, x] &&  !MatchQ[u, (w_)*((a_.)*(v_)^(n_))^(m_) /; F
reeQ[{a, m, n}, x] && IntegerQ[m*n]] &&  !MatchQ[u, E^((c_.)*((a_.) + (b_.)*x))*(F_)[v_] /; FreeQ[{a, b, c}, x
] && InverseFunctionQ[F[x]]]

Rule 6589

Int[PolyLog[n_, (c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(p_.)]/((d_.) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[PolyLog[n + 1, c*(a
+ b*x)^p]/(e*p), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, p}, x] && EqQ[b*d, a*e]

Rule 4133

Int[((a_) + (b_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(n_))^(p_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_.), x_Symbol] :> With[{ff = F
reeFactors[Cos[e + f*x], x]}, -Dist[ff/f, Subst[Int[((1 - ff^2*x^2)^((m - 1)/2)*(b + a*(ff*x)^n)^p)/(ff*x)^(n*
p), x], x, Cos[e + f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, e, f}, x] && IntegerQ[(m - 1)/2] && IntegerQ[n] && IntegerQ[p
]

Rule 453

Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> Simp[(c*(e*x)^(m
+ 1)*(a + b*x^n)^(p + 1))/(a*e*(m + 1)), x] + Dist[(a*d*(m + 1) - b*c*(m + n*(p + 1) + 1))/(a*e^n*(m + 1)), In
t[(e*x)^(m + n)*(a + b*x^n)^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, p}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && (IntegerQ[n] ||
GtQ[e, 0]) && ((GtQ[n, 0] && LtQ[m, -1]) || (LtQ[n, 0] && GtQ[m + n, -1])) &&  !ILtQ[p, -1]

Rule 206

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(1*ArcTanh[(Rt[-b, 2]*x)/Rt[a, 2]])/(Rt[a, 2]*Rt[-b, 2]), x]
/; FreeQ[{a, b}, x] && NegQ[a/b] && (GtQ[a, 0] || LtQ[b, 0])

Rule 4181

Int[csc[(e_.) + Pi*(k_.) + (f_.)*(x_)]*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(-2*(c + d*x)^m*ArcTanh[E
^(I*k*Pi)*E^(I*(e + f*x))])/f, x] + (-Dist[(d*m)/f, Int[(c + d*x)^(m - 1)*Log[1 - E^(I*k*Pi)*E^(I*(e + f*x))],
x], x] + Dist[(d*m)/f, Int[(c + d*x)^(m - 1)*Log[1 + E^(I*k*Pi)*E^(I*(e + f*x))], x], x]) /; FreeQ[{c, d, e,
f}, x] && IntegerQ[2*k] && IGtQ[m, 0]

Rule 2279

Int[Log[(a_) + (b_.)*((F_)^((e_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))))^(n_.)], x_Symbol] :> Dist[1/(d*e*n*Log[F]), Subst[Int
[Log[a + b*x]/x, x], x, (F^(e*(c + d*x)))^n], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, n}, x] && GtQ[a, 0]

Rule 2391

Int[Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_.))]/(x_), x_Symbol] :> -Simp[PolyLog[2, -(c*e*x^n)]/n, x] /; FreeQ[{c, d,
e, n}, x] && EqQ[c*d, 1]

Rule 2621

Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(a_.))^(m_)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(n_.), x_Symbol] :> -Dist[(f*a^n)^(-1), Subst
[Int[x^(m + n - 1)/(-1 + x^2/a^2)^((n + 1)/2), x], x, a*Csc[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, e, f, m}, x] && Integer
Q[(n + 1)/2] &&  !(IntegerQ[(m + 1)/2] && LtQ[0, m, n])

Rule 6271

Int[ArcTanh[u_], x_Symbol] :> Simp[x*ArcTanh[u], x] - Int[SimplifyIntegrand[(x*D[u, x])/(1 - u^2), x], x] /; I
nverseFunctionFreeQ[u, x]

Rule 3770

Int[csc[(c_.) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> -Simp[ArcTanh[Cos[c + d*x]]/d, x] /; FreeQ[{c, d}, x]

Rubi steps

\begin{align*} \int (c+d x)^2 \csc ^3(a+b x) \sec ^2(a+b x) \, dx &=-\frac{3 (c+d x)^2 \tanh ^{-1}(\cos (a+b x))}{2 b}+\frac{3 (c+d x)^2 \sec (a+b x)}{2 b}-\frac{(c+d x)^2 \csc ^2(a+b x) \sec (a+b x)}{2 b}-(2 d) \int (c+d x) \left (-\frac{3 \tanh ^{-1}(\cos (a+b x))}{2 b}+\frac{3 \sec (a+b x)}{2 b}-\frac{\csc ^2(a+b x) \sec (a+b x)}{2 b}\right ) \, dx\\ &=-\frac{3 (c+d x)^2 \tanh ^{-1}(\cos (a+b x))}{2 b}+\frac{3 (c+d x)^2 \sec (a+b x)}{2 b}-\frac{(c+d x)^2 \csc ^2(a+b x) \sec (a+b x)}{2 b}-(2 d) \int \frac{(c+d x) \left (-3 \tanh ^{-1}(\cos (a+b x))-\left (-3+\csc ^2(a+b x)\right ) \sec (a+b x)\right )}{2 b} \, dx\\ &=-\frac{3 (c+d x)^2 \tanh ^{-1}(\cos (a+b x))}{2 b}+\frac{3 (c+d x)^2 \sec (a+b x)}{2 b}-\frac{(c+d x)^2 \csc ^2(a+b x) \sec (a+b x)}{2 b}-\frac{d \int (c+d x) \left (-3 \tanh ^{-1}(\cos (a+b x))-\left (-3+\csc ^2(a+b x)\right ) \sec (a+b x)\right ) \, dx}{b}\\ &=-\frac{3 (c+d x)^2 \tanh ^{-1}(\cos (a+b x))}{2 b}+\frac{3 (c+d x)^2 \sec (a+b x)}{2 b}-\frac{(c+d x)^2 \csc ^2(a+b x) \sec (a+b x)}{2 b}-\frac{d \int \left (-3 (c+d x) \tanh ^{-1}(\cos (a+b x))-(c+d x) \left (-3+\csc ^2(a+b x)\right ) \sec (a+b x)\right ) \, dx}{b}\\ &=-\frac{3 (c+d x)^2 \tanh ^{-1}(\cos (a+b x))}{2 b}+\frac{3 (c+d x)^2 \sec (a+b x)}{2 b}-\frac{(c+d x)^2 \csc ^2(a+b x) \sec (a+b x)}{2 b}+\frac{d \int (c+d x) \left (-3+\csc ^2(a+b x)\right ) \sec (a+b x) \, dx}{b}+\frac{(3 d) \int (c+d x) \tanh ^{-1}(\cos (a+b x)) \, dx}{b}\\ &=\frac{3 (c+d x)^2 \sec (a+b x)}{2 b}-\frac{(c+d x)^2 \csc ^2(a+b x) \sec (a+b x)}{2 b}+\frac{3 \int b (c+d x)^2 \csc (a+b x) \, dx}{2 b}+\frac{d \int \left (c \left (-3+\csc ^2(a+b x)\right ) \sec (a+b x)+d x \left (-3+\csc ^2(a+b x)\right ) \sec (a+b x)\right ) \, dx}{b}\\ &=\frac{3 (c+d x)^2 \sec (a+b x)}{2 b}-\frac{(c+d x)^2 \csc ^2(a+b x) \sec (a+b x)}{2 b}+\frac{3}{2} \int (c+d x)^2 \csc (a+b x) \, dx+\frac{(c d) \int \left (-3+\csc ^2(a+b x)\right ) \sec (a+b x) \, dx}{b}+\frac{d^2 \int x \left (-3+\csc ^2(a+b x)\right ) \sec (a+b x) \, dx}{b}\\ &=-\frac{3 (c+d x)^2 \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b}+\frac{3 (c+d x)^2 \sec (a+b x)}{2 b}-\frac{(c+d x)^2 \csc ^2(a+b x) \sec (a+b x)}{2 b}-\frac{(3 d) \int (c+d x) \log \left (1-e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b}+\frac{(3 d) \int (c+d x) \log \left (1+e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b}+\frac{(c d) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1-3 x^2}{x^2 \left (1-x^2\right )} \, dx,x,\sin (a+b x)\right )}{b^2}+\frac{d^2 \int \left (-3 x \sec (a+b x)+x \csc ^2(a+b x) \sec (a+b x)\right ) \, dx}{b}\\ &=-\frac{3 (c+d x)^2 \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b}-\frac{c d \csc (a+b x)}{b^2}+\frac{3 i d (c+d x) \text{Li}_2\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{3 i d (c+d x) \text{Li}_2\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}+\frac{3 (c+d x)^2 \sec (a+b x)}{2 b}-\frac{(c+d x)^2 \csc ^2(a+b x) \sec (a+b x)}{2 b}-\frac{(2 c d) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{1-x^2} \, dx,x,\sin (a+b x)\right )}{b^2}-\frac{\left (3 i d^2\right ) \int \text{Li}_2\left (-e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^2}+\frac{\left (3 i d^2\right ) \int \text{Li}_2\left (e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^2}+\frac{d^2 \int x \csc ^2(a+b x) \sec (a+b x) \, dx}{b}-\frac{\left (3 d^2\right ) \int x \sec (a+b x) \, dx}{b}\\ &=\frac{6 i d^2 x \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{3 (c+d x)^2 \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b}-\frac{2 c d \tanh ^{-1}(\sin (a+b x))}{b^2}+\frac{d^2 x \tanh ^{-1}(\sin (a+b x))}{b^2}-\frac{c d \csc (a+b x)}{b^2}-\frac{d^2 x \csc (a+b x)}{b^2}+\frac{3 i d (c+d x) \text{Li}_2\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{3 i d (c+d x) \text{Li}_2\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}+\frac{3 (c+d x)^2 \sec (a+b x)}{2 b}-\frac{(c+d x)^2 \csc ^2(a+b x) \sec (a+b x)}{2 b}-\frac{\left (3 d^2\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\text{Li}_2(-x)}{x} \, dx,x,e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{\left (3 d^2\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\text{Li}_2(x)}{x} \, dx,x,e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{\left (3 d^2\right ) \int \log \left (1-i e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^2}-\frac{\left (3 d^2\right ) \int \log \left (1+i e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^2}-\frac{d^2 \int \left (\frac{\tanh ^{-1}(\sin (a+b x))}{b}-\frac{\csc (a+b x)}{b}\right ) \, dx}{b}\\ &=\frac{6 i d^2 x \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{3 (c+d x)^2 \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b}-\frac{2 c d \tanh ^{-1}(\sin (a+b x))}{b^2}+\frac{d^2 x \tanh ^{-1}(\sin (a+b x))}{b^2}-\frac{c d \csc (a+b x)}{b^2}-\frac{d^2 x \csc (a+b x)}{b^2}+\frac{3 i d (c+d x) \text{Li}_2\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{3 i d (c+d x) \text{Li}_2\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{3 d^2 \text{Li}_3\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{3 d^2 \text{Li}_3\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{3 (c+d x)^2 \sec (a+b x)}{2 b}-\frac{(c+d x)^2 \csc ^2(a+b x) \sec (a+b x)}{2 b}-\frac{\left (3 i d^2\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\log (1-i x)}{x} \, dx,x,e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{\left (3 i d^2\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\log (1+i x)}{x} \, dx,x,e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{d^2 \int \tanh ^{-1}(\sin (a+b x)) \, dx}{b^2}+\frac{d^2 \int \csc (a+b x) \, dx}{b^2}\\ &=\frac{6 i d^2 x \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{3 (c+d x)^2 \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b}-\frac{d^2 \tanh ^{-1}(\cos (a+b x))}{b^3}-\frac{2 c d \tanh ^{-1}(\sin (a+b x))}{b^2}-\frac{c d \csc (a+b x)}{b^2}-\frac{d^2 x \csc (a+b x)}{b^2}+\frac{3 i d (c+d x) \text{Li}_2\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{3 i d^2 \text{Li}_2\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{3 i d^2 \text{Li}_2\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{3 i d (c+d x) \text{Li}_2\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{3 d^2 \text{Li}_3\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{3 d^2 \text{Li}_3\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{3 (c+d x)^2 \sec (a+b x)}{2 b}-\frac{(c+d x)^2 \csc ^2(a+b x) \sec (a+b x)}{2 b}+\frac{d^2 \int b x \sec (a+b x) \, dx}{b^2}\\ &=\frac{6 i d^2 x \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{3 (c+d x)^2 \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b}-\frac{d^2 \tanh ^{-1}(\cos (a+b x))}{b^3}-\frac{2 c d \tanh ^{-1}(\sin (a+b x))}{b^2}-\frac{c d \csc (a+b x)}{b^2}-\frac{d^2 x \csc (a+b x)}{b^2}+\frac{3 i d (c+d x) \text{Li}_2\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{3 i d^2 \text{Li}_2\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{3 i d^2 \text{Li}_2\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{3 i d (c+d x) \text{Li}_2\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{3 d^2 \text{Li}_3\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{3 d^2 \text{Li}_3\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{3 (c+d x)^2 \sec (a+b x)}{2 b}-\frac{(c+d x)^2 \csc ^2(a+b x) \sec (a+b x)}{2 b}+\frac{d^2 \int x \sec (a+b x) \, dx}{b}\\ &=\frac{4 i d^2 x \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{3 (c+d x)^2 \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b}-\frac{d^2 \tanh ^{-1}(\cos (a+b x))}{b^3}-\frac{2 c d \tanh ^{-1}(\sin (a+b x))}{b^2}-\frac{c d \csc (a+b x)}{b^2}-\frac{d^2 x \csc (a+b x)}{b^2}+\frac{3 i d (c+d x) \text{Li}_2\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{3 i d^2 \text{Li}_2\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{3 i d^2 \text{Li}_2\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{3 i d (c+d x) \text{Li}_2\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{3 d^2 \text{Li}_3\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{3 d^2 \text{Li}_3\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{3 (c+d x)^2 \sec (a+b x)}{2 b}-\frac{(c+d x)^2 \csc ^2(a+b x) \sec (a+b x)}{2 b}-\frac{d^2 \int \log \left (1-i e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^2}+\frac{d^2 \int \log \left (1+i e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^2}\\ &=\frac{4 i d^2 x \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{3 (c+d x)^2 \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b}-\frac{d^2 \tanh ^{-1}(\cos (a+b x))}{b^3}-\frac{2 c d \tanh ^{-1}(\sin (a+b x))}{b^2}-\frac{c d \csc (a+b x)}{b^2}-\frac{d^2 x \csc (a+b x)}{b^2}+\frac{3 i d (c+d x) \text{Li}_2\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{3 i d^2 \text{Li}_2\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{3 i d^2 \text{Li}_2\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{3 i d (c+d x) \text{Li}_2\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{3 d^2 \text{Li}_3\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{3 d^2 \text{Li}_3\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{3 (c+d x)^2 \sec (a+b x)}{2 b}-\frac{(c+d x)^2 \csc ^2(a+b x) \sec (a+b x)}{2 b}+\frac{\left (i d^2\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\log (1-i x)}{x} \, dx,x,e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{\left (i d^2\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\log (1+i x)}{x} \, dx,x,e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}\\ &=\frac{4 i d^2 x \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{3 (c+d x)^2 \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b}-\frac{d^2 \tanh ^{-1}(\cos (a+b x))}{b^3}-\frac{2 c d \tanh ^{-1}(\sin (a+b x))}{b^2}-\frac{c d \csc (a+b x)}{b^2}-\frac{d^2 x \csc (a+b x)}{b^2}+\frac{3 i d (c+d x) \text{Li}_2\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{2 i d^2 \text{Li}_2\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{2 i d^2 \text{Li}_2\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{3 i d (c+d x) \text{Li}_2\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{3 d^2 \text{Li}_3\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{3 d^2 \text{Li}_3\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{3 (c+d x)^2 \sec (a+b x)}{2 b}-\frac{(c+d x)^2 \csc ^2(a+b x) \sec (a+b x)}{2 b}\\ \end{align*}

Mathematica [B]  time = 7.9231, size = 889, normalized size = 2.91 \[ -\frac{2 \left (\frac{2 \tan ^{-1}(\cot (a)) \tanh ^{-1}\left (\frac{\sin (a)+\cos (a) \tan \left (\frac{b x}{2}\right )}{\sqrt{\cos ^2(a)+\sin ^2(a)}}\right )}{\sqrt{\cos ^2(a)+\sin ^2(a)}}-\frac{\csc (a) \left (\left (b x-\tan ^{-1}(\cot (a))\right ) \left (\log \left (1-e^{i \left (b x-\tan ^{-1}(\cot (a))\right )}\right )-\log \left (1+e^{i \left (b x-\tan ^{-1}(\cot (a))\right )}\right )\right )+i \left (\text{PolyLog}\left (2,-e^{i \left (b x-\tan ^{-1}(\cot (a))\right )}\right )-\text{PolyLog}\left (2,e^{i \left (b x-\tan ^{-1}(\cot (a))\right )}\right )\right )\right )}{\sqrt{\cot ^2(a)+1}}\right ) d^2}{b^3}-\frac{4 i c \tan ^{-1}\left (\frac{-i \sin (a)-i \cos (a) \tan \left (\frac{b x}{2}\right )}{\sqrt{\cos ^2(a)+\sin ^2(a)}}\right ) d}{b^2 \sqrt{\cos ^2(a)+\sin ^2(a)}}+\frac{\left (-c^2-2 d x c-d^2 x^2\right ) \csc ^2\left (\frac{a}{2}+\frac{b x}{2}\right )}{8 b}+\frac{\left (c^2+2 d x c+d^2 x^2\right ) \sec ^2\left (\frac{a}{2}+\frac{b x}{2}\right )}{8 b}+\frac{3 c^2 \log \left (1-e^{i (a+b x)}\right ) b^2+3 d^2 x^2 \log \left (1-e^{i (a+b x)}\right ) b^2+6 c d x \log \left (1-e^{i (a+b x)}\right ) b^2-3 c^2 \log \left (1+e^{i (a+b x)}\right ) b^2-3 d^2 x^2 \log \left (1+e^{i (a+b x)}\right ) b^2-6 c d x \log \left (1+e^{i (a+b x)}\right ) b^2+6 i d (c+d x) \text{PolyLog}\left (2,-e^{i (a+b x)}\right ) b-6 i d (c+d x) \text{PolyLog}\left (2,e^{i (a+b x)}\right ) b+2 d^2 \log \left (1-e^{i (a+b x)}\right )-2 d^2 \log \left (1+e^{i (a+b x)}\right )-6 d^2 \text{PolyLog}\left (3,-e^{i (a+b x)}\right )+6 d^2 \text{PolyLog}\left (3,e^{i (a+b x)}\right )}{2 b^3}+\frac{(c+d x) \csc (a) \sec (a) (-d \cos (a)+b c \sin (a)+b d x \sin (a))}{b^2}+\frac{\sec \left (\frac{a}{2}\right ) \sec \left (\frac{a}{2}+\frac{b x}{2}\right ) \left (-x \sin \left (\frac{b x}{2}\right ) d^2-c \sin \left (\frac{b x}{2}\right ) d\right )}{2 b^2}+\frac{\csc \left (\frac{a}{2}\right ) \csc \left (\frac{a}{2}+\frac{b x}{2}\right ) \left (x \sin \left (\frac{b x}{2}\right ) d^2+c \sin \left (\frac{b x}{2}\right ) d\right )}{2 b^2}+\frac{\sin \left (\frac{b x}{2}\right ) c^2+2 d x \sin \left (\frac{b x}{2}\right ) c+d^2 x^2 \sin \left (\frac{b x}{2}\right )}{b \left (\cos \left (\frac{a}{2}\right )-\sin \left (\frac{a}{2}\right )\right ) \left (\cos \left (\frac{a}{2}+\frac{b x}{2}\right )-\sin \left (\frac{a}{2}+\frac{b x}{2}\right )\right )}+\frac{-\sin \left (\frac{b x}{2}\right ) c^2-2 d x \sin \left (\frac{b x}{2}\right ) c-d^2 x^2 \sin \left (\frac{b x}{2}\right )}{b \left (\cos \left (\frac{a}{2}\right )+\sin \left (\frac{a}{2}\right )\right ) \left (\cos \left (\frac{a}{2}+\frac{b x}{2}\right )+\sin \left (\frac{a}{2}+\frac{b x}{2}\right )\right )} \]

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]

Integrate[(c + d*x)^2*Csc[a + b*x]^3*Sec[a + b*x]^2,x]

[Out]

((-c^2 - 2*c*d*x - d^2*x^2)*Csc[a/2 + (b*x)/2]^2)/(8*b) + (3*b^2*c^2*Log[1 - E^(I*(a + b*x))] + 2*d^2*Log[1 -
E^(I*(a + b*x))] + 6*b^2*c*d*x*Log[1 - E^(I*(a + b*x))] + 3*b^2*d^2*x^2*Log[1 - E^(I*(a + b*x))] - 3*b^2*c^2*L
og[1 + E^(I*(a + b*x))] - 2*d^2*Log[1 + E^(I*(a + b*x))] - 6*b^2*c*d*x*Log[1 + E^(I*(a + b*x))] - 3*b^2*d^2*x^
2*Log[1 + E^(I*(a + b*x))] + (6*I)*b*d*(c + d*x)*PolyLog[2, -E^(I*(a + b*x))] - (6*I)*b*d*(c + d*x)*PolyLog[2,
E^(I*(a + b*x))] - 6*d^2*PolyLog[3, -E^(I*(a + b*x))] + 6*d^2*PolyLog[3, E^(I*(a + b*x))])/(2*b^3) + ((c^2 +
2*c*d*x + d^2*x^2)*Sec[a/2 + (b*x)/2]^2)/(8*b) + ((c + d*x)*Csc[a]*Sec[a]*(-(d*Cos[a]) + b*c*Sin[a] + b*d*x*Si
n[a]))/b^2 - ((4*I)*c*d*ArcTan[((-I)*Sin[a] - I*Cos[a]*Tan[(b*x)/2])/Sqrt[Cos[a]^2 + Sin[a]^2]])/(b^2*Sqrt[Cos
[a]^2 + Sin[a]^2]) - (2*d^2*(-((Csc[a]*((b*x - ArcTan[Cot[a]])*(Log[1 - E^(I*(b*x - ArcTan[Cot[a]]))] - Log[1
+ E^(I*(b*x - ArcTan[Cot[a]]))]) + I*(PolyLog[2, -E^(I*(b*x - ArcTan[Cot[a]]))] - PolyLog[2, E^(I*(b*x - ArcTa
n[Cot[a]]))])))/Sqrt[1 + Cot[a]^2]) + (2*ArcTan[Cot[a]]*ArcTanh[(Sin[a] + Cos[a]*Tan[(b*x)/2])/Sqrt[Cos[a]^2 +
Sin[a]^2]])/Sqrt[Cos[a]^2 + Sin[a]^2]))/b^3 + (Sec[a/2]*Sec[a/2 + (b*x)/2]*(-(c*d*Sin[(b*x)/2]) - d^2*x*Sin[(
b*x)/2]))/(2*b^2) + (Csc[a/2]*Csc[a/2 + (b*x)/2]*(c*d*Sin[(b*x)/2] + d^2*x*Sin[(b*x)/2]))/(2*b^2) + (c^2*Sin[(
b*x)/2] + 2*c*d*x*Sin[(b*x)/2] + d^2*x^2*Sin[(b*x)/2])/(b*(Cos[a/2] - Sin[a/2])*(Cos[a/2 + (b*x)/2] - Sin[a/2
+ (b*x)/2])) + (-(c^2*Sin[(b*x)/2]) - 2*c*d*x*Sin[(b*x)/2] - d^2*x^2*Sin[(b*x)/2])/(b*(Cos[a/2] + Sin[a/2])*(C
os[a/2 + (b*x)/2] + Sin[a/2 + (b*x)/2]))

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.508, size = 802, normalized size = 2.6 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((d*x+c)^2*csc(b*x+a)^3*sec(b*x+a)^2,x)

[Out]

2*d^2/b^2*ln(1+I*exp(I*(b*x+a)))*x+2*d^2/b^3*ln(1+I*exp(I*(b*x+a)))*a-2*d^2/b^2*ln(1-I*exp(I*(b*x+a)))*x-2*d^2
/b^3*ln(1-I*exp(I*(b*x+a)))*a-2*I*d^2/b^3*dilog(1+I*exp(I*(b*x+a)))+2*I*d^2/b^3*dilog(1-I*exp(I*(b*x+a)))-3/2/
b^3*d^2*ln(1-exp(I*(b*x+a)))*a^2-3/2/b*d^2*ln(exp(I*(b*x+a))+1)*x^2+3/2/b*d^2*ln(1-exp(I*(b*x+a)))*x^2+4*I*d/b
^2*c*arctan(exp(I*(b*x+a)))-4*I*d^2/b^3*a*arctan(exp(I*(b*x+a)))-1/b^3*d^2*ln(exp(I*(b*x+a))+1)+1/b^3*d^2*ln(e
xp(I*(b*x+a))-1)-3/b*c*d*ln(exp(I*(b*x+a))+1)*x-3/2/b*c^2*ln(exp(I*(b*x+a))+1)+3/2/b*c^2*ln(exp(I*(b*x+a))-1)-
3*d^2*polylog(3,-exp(I*(b*x+a)))/b^3+3*d^2*polylog(3,exp(I*(b*x+a)))/b^3+3/b*c*d*ln(1-exp(I*(b*x+a)))*x+3/b^2*
c*d*ln(1-exp(I*(b*x+a)))*a+1/b^2/(exp(2*I*(b*x+a))-1)^2/(exp(2*I*(b*x+a))+1)*(3*d^2*x^2*b*exp(5*I*(b*x+a))+6*c
*d*x*b*exp(5*I*(b*x+a))+3*c^2*b*exp(5*I*(b*x+a))-2*d^2*x^2*b*exp(3*I*(b*x+a))-4*c*d*x*b*exp(3*I*(b*x+a))-2*I*d
^2*x*exp(5*I*(b*x+a))-2*c^2*b*exp(3*I*(b*x+a))+3*d^2*x^2*b*exp(I*(b*x+a))-2*I*d*c*exp(5*I*(b*x+a))+6*c*d*x*b*e
xp(I*(b*x+a))+3*c^2*b*exp(I*(b*x+a))+2*I*d^2*x*exp(I*(b*x+a))+2*I*d*c*exp(I*(b*x+a)))+3/2/b^3*d^2*a^2*ln(exp(I
*(b*x+a))-1)-3/b^2*c*d*a*ln(exp(I*(b*x+a))-1)-3*I/b^2*c*d*polylog(2,exp(I*(b*x+a)))+3*I/b^2*d^2*polylog(2,-exp
(I*(b*x+a)))*x-3*I/b^2*d^2*polylog(2,exp(I*(b*x+a)))*x+3*I/b^2*c*d*polylog(2,-exp(I*(b*x+a)))

________________________________________________________________________________________

Maxima [B]  time = 5.04162, size = 5157, normalized size = 16.91 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)^2*csc(b*x+a)^3*sec(b*x+a)^2,x, algorithm="maxima")

[Out]

1/4*(c^2*(2*(3*cos(b*x + a)^2 - 2)/(cos(b*x + a)^3 - cos(b*x + a)) - 3*log(cos(b*x + a) + 1) + 3*log(cos(b*x +
a) - 1)) - 2*a*c*d*(2*(3*cos(b*x + a)^2 - 2)/(cos(b*x + a)^3 - cos(b*x + a)) - 3*log(cos(b*x + a) + 1) + 3*lo
g(cos(b*x + a) - 1))/b + a^2*d^2*(2*(3*cos(b*x + a)^2 - 2)/(cos(b*x + a)^3 - cos(b*x + a)) - 3*log(cos(b*x + a
) + 1) + 3*log(cos(b*x + a) - 1))/b^2 + 4*((8*b*c*d + 8*(b*x + a)*d^2 - 8*a*d^2 + 8*(b*c*d + (b*x + a)*d^2 - a
*d^2)*cos(6*b*x + 6*a) - 8*(b*c*d + (b*x + a)*d^2 - a*d^2)*cos(4*b*x + 4*a) - 8*(b*c*d + (b*x + a)*d^2 - a*d^2
)*cos(2*b*x + 2*a) - (-8*I*b*c*d - 8*I*(b*x + a)*d^2 + 8*I*a*d^2)*sin(6*b*x + 6*a) - (8*I*b*c*d + 8*I*(b*x + a
)*d^2 - 8*I*a*d^2)*sin(4*b*x + 4*a) - (8*I*b*c*d + 8*I*(b*x + a)*d^2 - 8*I*a*d^2)*sin(2*b*x + 2*a))*arctan2(co
s(b*x + a), sin(b*x + a) + 1) + (8*b*c*d + 8*(b*x + a)*d^2 - 8*a*d^2 + 8*(b*c*d + (b*x + a)*d^2 - a*d^2)*cos(6
*b*x + 6*a) - 8*(b*c*d + (b*x + a)*d^2 - a*d^2)*cos(4*b*x + 4*a) - 8*(b*c*d + (b*x + a)*d^2 - a*d^2)*cos(2*b*x
+ 2*a) - (-8*I*b*c*d - 8*I*(b*x + a)*d^2 + 8*I*a*d^2)*sin(6*b*x + 6*a) - (8*I*b*c*d + 8*I*(b*x + a)*d^2 - 8*I
*a*d^2)*sin(4*b*x + 4*a) - (8*I*b*c*d + 8*I*(b*x + a)*d^2 - 8*I*a*d^2)*sin(2*b*x + 2*a))*arctan2(cos(b*x + a),
-sin(b*x + a) + 1) - (6*(b*x + a)^2*d^2 + 12*(b*c*d - a*d^2)*(b*x + a) + 4*d^2 + 2*(3*(b*x + a)^2*d^2 + 6*(b*
c*d - a*d^2)*(b*x + a) + 2*d^2)*cos(6*b*x + 6*a) - 2*(3*(b*x + a)^2*d^2 + 6*(b*c*d - a*d^2)*(b*x + a) + 2*d^2)
*cos(4*b*x + 4*a) - 2*(3*(b*x + a)^2*d^2 + 6*(b*c*d - a*d^2)*(b*x + a) + 2*d^2)*cos(2*b*x + 2*a) + (6*I*(b*x +
a)^2*d^2 + (12*I*b*c*d - 12*I*a*d^2)*(b*x + a) + 4*I*d^2)*sin(6*b*x + 6*a) + (-6*I*(b*x + a)^2*d^2 + (-12*I*b
*c*d + 12*I*a*d^2)*(b*x + a) - 4*I*d^2)*sin(4*b*x + 4*a) + (-6*I*(b*x + a)^2*d^2 + (-12*I*b*c*d + 12*I*a*d^2)*
(b*x + a) - 4*I*d^2)*sin(2*b*x + 2*a))*arctan2(sin(b*x + a), cos(b*x + a) + 1) + (4*d^2*cos(6*b*x + 6*a) - 4*d
^2*cos(4*b*x + 4*a) - 4*d^2*cos(2*b*x + 2*a) + 4*I*d^2*sin(6*b*x + 6*a) - 4*I*d^2*sin(4*b*x + 4*a) - 4*I*d^2*s
in(2*b*x + 2*a) + 4*d^2)*arctan2(sin(b*x + a), cos(b*x + a) - 1) - (6*(b*x + a)^2*d^2 + 12*(b*c*d - a*d^2)*(b*
x + a) + 6*((b*x + a)^2*d^2 + 2*(b*c*d - a*d^2)*(b*x + a))*cos(6*b*x + 6*a) - 6*((b*x + a)^2*d^2 + 2*(b*c*d -
a*d^2)*(b*x + a))*cos(4*b*x + 4*a) - 6*((b*x + a)^2*d^2 + 2*(b*c*d - a*d^2)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) + (6*I
*(b*x + a)^2*d^2 + (12*I*b*c*d - 12*I*a*d^2)*(b*x + a))*sin(6*b*x + 6*a) + (-6*I*(b*x + a)^2*d^2 + (-12*I*b*c*
d + 12*I*a*d^2)*(b*x + a))*sin(4*b*x + 4*a) + (-6*I*(b*x + a)^2*d^2 + (-12*I*b*c*d + 12*I*a*d^2)*(b*x + a))*si
n(2*b*x + 2*a))*arctan2(sin(b*x + a), -cos(b*x + a) + 1) - (12*I*(b*x + a)^2*d^2 + 8*b*c*d - 8*a*d^2 + (24*I*b
*c*d - 8*(3*I*a - 1)*d^2)*(b*x + a))*cos(5*b*x + 5*a) - (-8*I*(b*x + a)^2*d^2 + (-16*I*b*c*d + 16*I*a*d^2)*(b*
x + a))*cos(3*b*x + 3*a) - (12*I*(b*x + a)^2*d^2 - 8*b*c*d + 8*a*d^2 + (24*I*b*c*d - 8*(3*I*a + 1)*d^2)*(b*x +
a))*cos(b*x + a) + (8*d^2*cos(6*b*x + 6*a) - 8*d^2*cos(4*b*x + 4*a) - 8*d^2*cos(2*b*x + 2*a) + 8*I*d^2*sin(6*
b*x + 6*a) - 8*I*d^2*sin(4*b*x + 4*a) - 8*I*d^2*sin(2*b*x + 2*a) + 8*d^2)*dilog(I*e^(I*b*x + I*a)) - (8*d^2*co
s(6*b*x + 6*a) - 8*d^2*cos(4*b*x + 4*a) - 8*d^2*cos(2*b*x + 2*a) + 8*I*d^2*sin(6*b*x + 6*a) - 8*I*d^2*sin(4*b*
x + 4*a) - 8*I*d^2*sin(2*b*x + 2*a) + 8*d^2)*dilog(-I*e^(I*b*x + I*a)) + (12*b*c*d + 12*(b*x + a)*d^2 - 12*a*d
^2 + 12*(b*c*d + (b*x + a)*d^2 - a*d^2)*cos(6*b*x + 6*a) - 12*(b*c*d + (b*x + a)*d^2 - a*d^2)*cos(4*b*x + 4*a)
- 12*(b*c*d + (b*x + a)*d^2 - a*d^2)*cos(2*b*x + 2*a) - (-12*I*b*c*d - 12*I*(b*x + a)*d^2 + 12*I*a*d^2)*sin(6
*b*x + 6*a) - (12*I*b*c*d + 12*I*(b*x + a)*d^2 - 12*I*a*d^2)*sin(4*b*x + 4*a) - (12*I*b*c*d + 12*I*(b*x + a)*d
^2 - 12*I*a*d^2)*sin(2*b*x + 2*a))*dilog(-e^(I*b*x + I*a)) - (12*b*c*d + 12*(b*x + a)*d^2 - 12*a*d^2 + 12*(b*c
*d + (b*x + a)*d^2 - a*d^2)*cos(6*b*x + 6*a) - 12*(b*c*d + (b*x + a)*d^2 - a*d^2)*cos(4*b*x + 4*a) - 12*(b*c*d
+ (b*x + a)*d^2 - a*d^2)*cos(2*b*x + 2*a) + (12*I*b*c*d + 12*I*(b*x + a)*d^2 - 12*I*a*d^2)*sin(6*b*x + 6*a) +
(-12*I*b*c*d - 12*I*(b*x + a)*d^2 + 12*I*a*d^2)*sin(4*b*x + 4*a) + (-12*I*b*c*d - 12*I*(b*x + a)*d^2 + 12*I*a
*d^2)*sin(2*b*x + 2*a))*dilog(e^(I*b*x + I*a)) - (-3*I*(b*x + a)^2*d^2 + (-6*I*b*c*d + 6*I*a*d^2)*(b*x + a) -
2*I*d^2 + (-3*I*(b*x + a)^2*d^2 + (-6*I*b*c*d + 6*I*a*d^2)*(b*x + a) - 2*I*d^2)*cos(6*b*x + 6*a) + (3*I*(b*x +
a)^2*d^2 + (6*I*b*c*d - 6*I*a*d^2)*(b*x + a) + 2*I*d^2)*cos(4*b*x + 4*a) + (3*I*(b*x + a)^2*d^2 + (6*I*b*c*d
- 6*I*a*d^2)*(b*x + a) + 2*I*d^2)*cos(2*b*x + 2*a) + (3*(b*x + a)^2*d^2 + 6*(b*c*d - a*d^2)*(b*x + a) + 2*d^2)
*sin(6*b*x + 6*a) - (3*(b*x + a)^2*d^2 + 6*(b*c*d - a*d^2)*(b*x + a) + 2*d^2)*sin(4*b*x + 4*a) - (3*(b*x + a)^
2*d^2 + 6*(b*c*d - a*d^2)*(b*x + a) + 2*d^2)*sin(2*b*x + 2*a))*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 + 2*cos(b*x
+ a) + 1) - (3*I*(b*x + a)^2*d^2 + (6*I*b*c*d - 6*I*a*d^2)*(b*x + a) + 2*I*d^2 + (3*I*(b*x + a)^2*d^2 + (6*I*
b*c*d - 6*I*a*d^2)*(b*x + a) + 2*I*d^2)*cos(6*b*x + 6*a) + (-3*I*(b*x + a)^2*d^2 + (-6*I*b*c*d + 6*I*a*d^2)*(b
*x + a) - 2*I*d^2)*cos(4*b*x + 4*a) + (-3*I*(b*x + a)^2*d^2 + (-6*I*b*c*d + 6*I*a*d^2)*(b*x + a) - 2*I*d^2)*co
s(2*b*x + 2*a) - (3*(b*x + a)^2*d^2 + 6*(b*c*d - a*d^2)*(b*x + a) + 2*d^2)*sin(6*b*x + 6*a) + (3*(b*x + a)^2*d
^2 + 6*(b*c*d - a*d^2)*(b*x + a) + 2*d^2)*sin(4*b*x + 4*a) + (3*(b*x + a)^2*d^2 + 6*(b*c*d - a*d^2)*(b*x + a)
+ 2*d^2)*sin(2*b*x + 2*a))*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 - 2*cos(b*x + a) + 1) - (-4*I*b*c*d - 4*I*(b*x
+ a)*d^2 + 4*I*a*d^2 + (-4*I*b*c*d - 4*I*(b*x + a)*d^2 + 4*I*a*d^2)*cos(6*b*x + 6*a) + (4*I*b*c*d + 4*I*(b*x +
a)*d^2 - 4*I*a*d^2)*cos(4*b*x + 4*a) + (4*I*b*c*d + 4*I*(b*x + a)*d^2 - 4*I*a*d^2)*cos(2*b*x + 2*a) + 4*(b*c*
d + (b*x + a)*d^2 - a*d^2)*sin(6*b*x + 6*a) - 4*(b*c*d + (b*x + a)*d^2 - a*d^2)*sin(4*b*x + 4*a) - 4*(b*c*d +
(b*x + a)*d^2 - a*d^2)*sin(2*b*x + 2*a))*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 + 2*sin(b*x + a) + 1) - (4*I*b*c*
d + 4*I*(b*x + a)*d^2 - 4*I*a*d^2 + (4*I*b*c*d + 4*I*(b*x + a)*d^2 - 4*I*a*d^2)*cos(6*b*x + 6*a) + (-4*I*b*c*d
- 4*I*(b*x + a)*d^2 + 4*I*a*d^2)*cos(4*b*x + 4*a) + (-4*I*b*c*d - 4*I*(b*x + a)*d^2 + 4*I*a*d^2)*cos(2*b*x +
2*a) - 4*(b*c*d + (b*x + a)*d^2 - a*d^2)*sin(6*b*x + 6*a) + 4*(b*c*d + (b*x + a)*d^2 - a*d^2)*sin(4*b*x + 4*a)
+ 4*(b*c*d + (b*x + a)*d^2 - a*d^2)*sin(2*b*x + 2*a))*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 - 2*sin(b*x + a) +
1) - (-12*I*d^2*cos(6*b*x + 6*a) + 12*I*d^2*cos(4*b*x + 4*a) + 12*I*d^2*cos(2*b*x + 2*a) + 12*d^2*sin(6*b*x +
6*a) - 12*d^2*sin(4*b*x + 4*a) - 12*d^2*sin(2*b*x + 2*a) - 12*I*d^2)*polylog(3, -e^(I*b*x + I*a)) - (12*I*d^2*
cos(6*b*x + 6*a) - 12*I*d^2*cos(4*b*x + 4*a) - 12*I*d^2*cos(2*b*x + 2*a) - 12*d^2*sin(6*b*x + 6*a) + 12*d^2*si
n(4*b*x + 4*a) + 12*d^2*sin(2*b*x + 2*a) + 12*I*d^2)*polylog(3, e^(I*b*x + I*a)) + (12*(b*x + a)^2*d^2 - 8*I*b
*c*d + 8*I*a*d^2 + (24*b*c*d - (24*a + 8*I)*d^2)*(b*x + a))*sin(5*b*x + 5*a) - 8*((b*x + a)^2*d^2 + 2*(b*c*d -
a*d^2)*(b*x + a))*sin(3*b*x + 3*a) + (12*(b*x + a)^2*d^2 + 8*I*b*c*d - 8*I*a*d^2 + (24*b*c*d - (24*a - 8*I)*d
^2)*(b*x + a))*sin(b*x + a))/(-4*I*b^2*cos(6*b*x + 6*a) + 4*I*b^2*cos(4*b*x + 4*a) + 4*I*b^2*cos(2*b*x + 2*a)
+ 4*b^2*sin(6*b*x + 6*a) - 4*b^2*sin(4*b*x + 4*a) - 4*b^2*sin(2*b*x + 2*a) - 4*I*b^2))/b

________________________________________________________________________________________

Fricas [C]  time = 0.958072, size = 4454, normalized size = 14.6 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)^2*csc(b*x+a)^3*sec(b*x+a)^2,x, algorithm="fricas")

[Out]

-1/4*(4*b^2*d^2*x^2 + 8*b^2*c*d*x + 4*b^2*c^2 - 6*(b^2*d^2*x^2 + 2*b^2*c*d*x + b^2*c^2)*cos(b*x + a)^2 - 4*(b*
d^2*x + b*c*d)*cos(b*x + a)*sin(b*x + a) - ((-6*I*b*d^2*x - 6*I*b*c*d)*cos(b*x + a)^3 + (6*I*b*d^2*x + 6*I*b*c
*d)*cos(b*x + a))*dilog(cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a)) - ((6*I*b*d^2*x + 6*I*b*c*d)*cos(b*x + a)^3 + (-6*I*b*d
^2*x - 6*I*b*c*d)*cos(b*x + a))*dilog(cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a)) - (4*I*d^2*cos(b*x + a)^3 - 4*I*d^2*cos(b
*x + a))*dilog(I*cos(b*x + a) + sin(b*x + a)) - (4*I*d^2*cos(b*x + a)^3 - 4*I*d^2*cos(b*x + a))*dilog(I*cos(b*
x + a) - sin(b*x + a)) - (-4*I*d^2*cos(b*x + a)^3 + 4*I*d^2*cos(b*x + a))*dilog(-I*cos(b*x + a) + sin(b*x + a)
) - (-4*I*d^2*cos(b*x + a)^3 + 4*I*d^2*cos(b*x + a))*dilog(-I*cos(b*x + a) - sin(b*x + a)) - ((-6*I*b*d^2*x -
6*I*b*c*d)*cos(b*x + a)^3 + (6*I*b*d^2*x + 6*I*b*c*d)*cos(b*x + a))*dilog(-cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a)) - ((
6*I*b*d^2*x + 6*I*b*c*d)*cos(b*x + a)^3 + (-6*I*b*d^2*x - 6*I*b*c*d)*cos(b*x + a))*dilog(-cos(b*x + a) - I*sin
(b*x + a)) + ((3*b^2*d^2*x^2 + 6*b^2*c*d*x + 3*b^2*c^2 + 2*d^2)*cos(b*x + a)^3 - (3*b^2*d^2*x^2 + 6*b^2*c*d*x
+ 3*b^2*c^2 + 2*d^2)*cos(b*x + a))*log(cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a) + 1) + 4*((b*c*d - a*d^2)*cos(b*x + a)^3
- (b*c*d - a*d^2)*cos(b*x + a))*log(cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a) + I) + ((3*b^2*d^2*x^2 + 6*b^2*c*d*x + 3*b^2
*c^2 + 2*d^2)*cos(b*x + a)^3 - (3*b^2*d^2*x^2 + 6*b^2*c*d*x + 3*b^2*c^2 + 2*d^2)*cos(b*x + a))*log(cos(b*x + a
) - I*sin(b*x + a) + 1) - 4*((b*c*d - a*d^2)*cos(b*x + a)^3 - (b*c*d - a*d^2)*cos(b*x + a))*log(cos(b*x + a) -
I*sin(b*x + a) + I) + 4*((b*d^2*x + a*d^2)*cos(b*x + a)^3 - (b*d^2*x + a*d^2)*cos(b*x + a))*log(I*cos(b*x + a
) + sin(b*x + a) + 1) - 4*((b*d^2*x + a*d^2)*cos(b*x + a)^3 - (b*d^2*x + a*d^2)*cos(b*x + a))*log(I*cos(b*x +
a) - sin(b*x + a) + 1) + 4*((b*d^2*x + a*d^2)*cos(b*x + a)^3 - (b*d^2*x + a*d^2)*cos(b*x + a))*log(-I*cos(b*x
+ a) + sin(b*x + a) + 1) - 4*((b*d^2*x + a*d^2)*cos(b*x + a)^3 - (b*d^2*x + a*d^2)*cos(b*x + a))*log(-I*cos(b*
x + a) - sin(b*x + a) + 1) - ((3*b^2*c^2 - 6*a*b*c*d + (3*a^2 + 2)*d^2)*cos(b*x + a)^3 - (3*b^2*c^2 - 6*a*b*c*
d + (3*a^2 + 2)*d^2)*cos(b*x + a))*log(-1/2*cos(b*x + a) + 1/2*I*sin(b*x + a) + 1/2) - ((3*b^2*c^2 - 6*a*b*c*d
+ (3*a^2 + 2)*d^2)*cos(b*x + a)^3 - (3*b^2*c^2 - 6*a*b*c*d + (3*a^2 + 2)*d^2)*cos(b*x + a))*log(-1/2*cos(b*x
+ a) - 1/2*I*sin(b*x + a) + 1/2) - 3*((b^2*d^2*x^2 + 2*b^2*c*d*x + 2*a*b*c*d - a^2*d^2)*cos(b*x + a)^3 - (b^2*
d^2*x^2 + 2*b^2*c*d*x + 2*a*b*c*d - a^2*d^2)*cos(b*x + a))*log(-cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a) + 1) + 4*((b*c*d
- a*d^2)*cos(b*x + a)^3 - (b*c*d - a*d^2)*cos(b*x + a))*log(-cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a) + I) - 3*((b^2*d^2
*x^2 + 2*b^2*c*d*x + 2*a*b*c*d - a^2*d^2)*cos(b*x + a)^3 - (b^2*d^2*x^2 + 2*b^2*c*d*x + 2*a*b*c*d - a^2*d^2)*c
os(b*x + a))*log(-cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a) + 1) - 4*((b*c*d - a*d^2)*cos(b*x + a)^3 - (b*c*d - a*d^2)*cos
(b*x + a))*log(-cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a) + I) - 6*(d^2*cos(b*x + a)^3 - d^2*cos(b*x + a))*polylog(3, cos(
b*x + a) + I*sin(b*x + a)) - 6*(d^2*cos(b*x + a)^3 - d^2*cos(b*x + a))*polylog(3, cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a
)) + 6*(d^2*cos(b*x + a)^3 - d^2*cos(b*x + a))*polylog(3, -cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a)) + 6*(d^2*cos(b*x + a
)^3 - d^2*cos(b*x + a))*polylog(3, -cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a)))/(b^3*cos(b*x + a)^3 - b^3*cos(b*x + a))

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)**2*csc(b*x+a)**3*sec(b*x+a)**2,x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int{\left (d x + c\right )}^{2} \csc \left (b x + a\right )^{3} \sec \left (b x + a\right )^{2}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)^2*csc(b*x+a)^3*sec(b*x+a)^2,x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((d*x + c)^2*csc(b*x + a)^3*sec(b*x + a)^2, x)